피보나치 수열

1) 피보나치 수열

이 수열은 12세기 말 이탈리아 천재 수학자 레오나르도 피보나치가 제안했다.

한 쌍의 토끼가 계속 새끼를 낳을 경우 몇 마리로 불어나는가를 숫자로 나타낸 것이 이 수열이다. 갓 태어난 두 토끼가 2달이 지나면, 그때부터 이 토끼는 매달 암수 한 쌍의 토끼를 낳는다. 새로 태어난 토끼들도 두 달 후 똑같은 일을 반복 한다. 월별 토끼 상을 적어보면 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55.....가 된다. 모든 숫자가 앞선 두 숫자의 합이라는 것을 알 수 있다.

 

2) 피보나치 수열과 관련된 자연현상

 

 

① 위 그림과 같은 나무 한 그루가 있다. 지금 한창 가지를 뻗고 있는 중이다. 우선 하나의 줄기에서 2개의 가지 A, B로 나누어진다. 다음은 갈라진 A가지에서 2개의 가지 C, D로 갈라지고 B가지 역시 가지치기를 잠시 멈추다가 H, G로 갈라진다. 그리고 앞서 가지를 뻗은 C, D중 C가지를 뻗어 E, F로 발전하고 있지만 D는 한동안 휴식상태로 들어가고 있다. 이런 식으로 나뭇가지 수를 각 세대별로 세다 보면 '1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, …'가 되어 피보나치 수열이 된다.

주변의 꽃잎을 세어보면 거의 모든 꽃잎이 3장 5장 8장 13장…으로 되어 있다. 클로버는 대개 3개의잎을 가짐,백합과 붓꽃 그리고 아이리스도 3개,채송화와 동백,그리고 장미는5장,모란과 코스모스 8장,금잔화는 13장,치커리는21장, 질경이와 데이지는 34장,쑥부쟁이는 55장 혹은 89장......

 

 

 

 

② 해바라기나 데이지 꽃머리의 씨앗 배치에도 존재한다.

최소 공간에 최대의 씨앗을 촘촘하게 배치하는 ‘최적의 수학적 해법’으로 꽃은 피보나치 수열을 선택한다. 씨앗은 꽃머리에서 왼쪽과 오른쪽 두 개의 방향으로 엇갈리게 나선 모양으로 자리잡는다. 해바라기 씨가 박힌 모양을 보면, 오른쪽과 왼쪽으로 도는 두가지 방향의 나선을 발견할 수 있다.

해바라기 나선의수는 하나가 21이면 다른건 34고 다른건 55하는 식으로 배열 되어 있다. 데이지 꽃 머리에는 서로 다른 34개와 55개의 나선이 있고, 해바라기 꽃머리에는 55개와 89개의 나선이 있다.

 

③

④

피아노 건반은 흰색건반 8개와 검은색 건반5개로 기본13옥타브로 구성 되어 있다. 또한 검은색 건반은 2개, 3개가 각각 나란히 붙어 있어 2, 3, 5, 8, 13 등 피보나치 수열을 이루고 있음을 알 수 있다.

⑤

파인애플에서도 이와 같은 규칙을 발견할 수 있는데 왼쪽으로 경사져 내려오는 다이아몬드 무늬 모양으로 생긴 8줄의 인편이 있는가 하면 오른쪽으로는 13줄의 비스듬히 내려오는 인편이 있다.

 

 

 

 

 

 

3) 피보나치 수열과 황금분할

① 황금 분할이란?

황금비는 고대 그리스에서 발견되었고, 가장 조화가 잡힌 비(比)로서 이와 같이 이름하게 된 것인데,

르네상스의 볼로냐의 수도승(修道僧) 루카 바티리오에 의하여 ‘신성비례(神聖比例)’라고 이름할 정도로 중요시되었다. 특히 시각(視覺)에 호소하는 도형이나 입체 등에서는 이 비를 많이 이용해 왔으며, 예를 들면 직사 각형의 두 변의 비가황금분할이 되는 것은 여러 가지 비례의 직사각형 중에서 가장 정돈된 직사각형이라 하였다.

고대 피타고라스학파는 정오각형안에 미의 기본인 황금비가 있는 것을 발견하고 정오각형으로 만들어진 별을 그들의 심볼마크로 만들어 자랑스럽게 가슴에 달고 다녔다

황금비는 선분의 분할로 정의할 수 있는데,‘전체 길이:긴 길이=긴 길이:짧은 길이’를 만족하는 분할의 비를 말한다．황금비는 무리수 (√5 +1)/2로 나타나는데, 보통 소수점 세번째 자리까지인 1.618을 사용한다.피타고라스학파는 정오각형의 한 대각선이 다른 대각선에 의해 분할될 때 생기는 두 부분의 길이의 비가 황금비가 됨을 발견했던 것이다．직사각형의 경우 가로와 세로의 길이의 비가 황금비를 이룰 때,가장 안정감 있고 균형 있는 아름다운 직사각형으로 사람들이 느낀다는 것은 놀라운 일이다． 파롯테논 신전의 외곽모양이나 카드의 가로 세로비는 대표적인 황금비의 적용 예이다.

 

② 황금 분할과 관련된 자연현상

 

㉠계란의 가로, 세로비에서 그리고 소라껍질이나 조개껍질의 각 줄간의 비율에서도 발견된다.그것은 식물들의 잎차례,가지치기,꽃잎 등에서 발견될 뿐 아니라 초식동물의 뿔, 바다의 파도,물의 흐름 나아가 태풍,은하수의 형태에서도 발견된다.

 

 

 

㉡

이것은 우리의 인체속에서도 반영되어 있다. 인간의 신체가 이 비율에 의해서 분할되어 있으며 이것이 아름다운 몸의 보편적 기준이 되고 있다. 위 그림은 Le Corbusier가 찾아낸 이상적 인간의 각 신체부위의 비율이다. 이것은 레오나르도 다빈치의 인체비율에 대한 그림에서도 찾아 볼 수 있다. 또한 손가락 뼈 사이에서, 얼굴윤곽에서도 황금비는 발견된다. 그래서 미술을 하는 사람들에게 황금비는 언제나 연구의 대상이다.

이상적인 운동 선수의 인체를 보여주는 에서도 배꼽의 위치가 몸 전체를 황금분할하고 있다. 또 어깨 폭에 대한 팔 길이의 비도 황금비를 이룬다. (CB/AC, AB/CB, bc/ab 는 황금비) 하지만 많은 사람이 이 말에 동의하지 않을 수도 있다. 그렇다면 주변 사람들의 인체 비례를 측정해 보는 것은 어떨까. 뉴욕시에 살고 있는 롱크(F. A. Lonc)는 여자 65명의 키와 배꼽까지의 높이를 재서 이를 확인했다고 한다. 그는 여자의 키를 배꼽까지의 높이로 나눈 값의 평균이 1.618이었다고 발표했다.  

 

 

 

 

 

 

③ 피보나치 수열과 황금분할

㉠피보나치 수열에서 연속한 항들의 비를 택하면 다음과 같은 수열을 얻는다.

1/1 (=1), 2/1 (=2), 3/2 (=1.5), 5/3 (≒1.667), 8/5 (=1.6), 13/8 (≒1.625), 21/13 (≒1.615), 34/21 (≒1.619), 55/34(≒1.618), 89/55(≒1.618), …

놀랍게도, 이 수열의 극한은 실제로 황금비 (√5 +1)/2 이다.

㉡

 

황금분할이 나타내는 현상과 그 의미하는 것을 이해하려면 황금분할 구도가 내재된 직사각형을 이해하여야 한다. 황금분할의 구도가 내재된 직사각형은 다음과 같은 방법으로 구할 수 있다. 옆 그림과 같이 길이가 각각 2단위의 정사각형 ABCD를 작성한 후 밑변 CD의 중간지점을 E라고 정하고 BE를 이으면 밑변 1, 높이 2인 직각삼각형 BCE가 형성된다.삼각형 BCE의 빗변 BE의 길이는 ‘빗변의 곱은 다른 두변의 각각의 제곱의 합과 일치한다’는 피타고라스의 정리에 의해 √ 5 단위의 길이를 갖게 된다. 다음 단계는 그림3 같이 EG의 길이가 삼각형의 빗변 BE의 길이 √ 5 와 같도록 연장한다. 모두 완성이 되면 (그림 3)에서는 다음과 같은 황금분할의 관계가 형성된다.

DG=√ 5 +1 CG= √ 5 - 1

FG=2 FG=2

DG/FG = (√ 5 +1)/2 CG/FG = (√ 5 -1)/2 = (2.236+1)/2 = (2.236-1)/2 = 3.236/2 = 1.236/2

= 1.618 = 0.618

위 두 식의 답은 모두 황금분할의 수 파이(Ø) 1.618과 0.618임을 알 수 있으며 직사각형 ADGF를 ‘황금직사각형(Golden Rectangle)’이라 말하며 직사각형 BCGF도 역시 ‘황금직사각형’이다

 

 

 

4) 피보나치 수열과 파스칼 삼각형

파스칼의 삼각형의 원리가 위에 있는 두수를 더한 값을 밑에 적어 놓은 것이므로 위와 같은 방법으로 줄을 그어서 그 값을 더하면 피보나치 수열과 일치한다는 것을 알 수 있다.